罗素悖论的例子

1、苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”

2、所谓的发现观，就是数学理论本来就在那里，就像是客观真理或者上帝旨意，而数学家发现了它。所谓的发明观，就是数学理论本来是没有的，数学家发明了它构造了它甚至可以改变它。(罗素悖论的例子)。

3、这一类悖论都有一个共同特点：假设其为真，则推出其假；而假设其为假，又推出其真。

4、价值悖论(也被叫做钻石与水悖论)就是一类典型的自相矛盾的例子，尽管在维持生存的价值上水要高出钻石，但是市场价水却不如钻石。我们来试着解释一下这个悖论，当消费量较小时，两者相比水的边际效用要大于钻石，因此两者都缺少的时候，水的价值就更高。事实上，现在我们对水的消费量往往都比较大，钻石的消费量却远没有那么大。我们可以天天喝水喝到吐，却不能天天买钻石。所以，大量水的边际效用小于少量钻石的边际效用。

5、当时的情况是，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，这一成果也为数学界接受，并且获得了广泛而高度的赞誉。

6、分析：倘若他不给自己刮脸，那么他属于“不给自己刮脸的人”，按照他的说法他就要给自己刮脸；倘若他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按照他的说法就不该给自己刮脸。

7、鸡还是蛋这个两难的因果难题可以简述为“先有鸡还是先有蛋？”鸡与蛋悖论也启发了古代哲人对先有生命还是先有宇宙这一系列问题的思考。

8、如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。

9、我们了解了悖论的有关知识，能发现别人语言中的矛盾，这其实是一种智慧的表现。智慧可以给人带来财富，使人获得很多很多，有时甚至可以是自己的生命。

10、罗素悖论使本已接近完成的《数学的原理》的出版推迟了两年左右，但即便如此也未能解决罗素悖论。这一点让罗素深感沮丧，在给一位朋友的信中称《数学的原理》为“一本愚蠢的书”(afoolishbook)，甚至表示一想到为这样一本书花费了那么多时间就感到羞愧。不过那时候，真正的“大书”《数学原理》的撰写早已展开(1900年底左右就启动了)，彻底解决罗素悖论的任务被顺理成章地转移到了《数学原理》上。

11、如果它是非自谓的，就是说它对自身的修饰“非自谓”为假；则根据定义，它应该是自谓的。(罗素悖论的例子)。

12、这里如果把老师也混淆到学生行列，作为模糊的主客体不分的人，那么这里也完全可以说，这个老师说的也是个悖论，是个“鞭策悖论”，老师(我)要是给自己鞭策，那么老师(我)就违背了我说的“不给自己鞭策的人鞭策”。若是，老师(我)不给自己鞭策，那么老师(我)也违背了，“只给那些不给自己鞭策的人鞭策。”这是矛盾的。

13、19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！

14、罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有RR，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循RR的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切RR的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

15、那么，具体到罗素悖论，如何分析和解决呢？很简单，R是数学家发明构造的，数学家给出的规则对于“R是否属于R”给出了一个矛盾式的规则，相当于没有定义。没有定义起码有三种可能性：缺少定义，重言定义，矛盾定义。

16、周述岐，数学思想和数学哲学，北京：中国人民大学出版社，1993

17、19世纪德国数学家格奥尔格·康托尔，也是数集理论的开创者，使用了相同的手法否定了伽利略的这条限制条件的必要性。康托尔认为在无限数集中进行有意义的比较是可行的(康托尔认为数和平方数这两个集合的大小是相等的)，在这种定义下，某些无限集合肯定是比另一些无限集合大。伽利略对后继者在无穷数上的突破的预测惊人的准确，伽利略在书中写到，一条线段内所有点的数目和比此更长的线段上点的数目相等，但是伽利略没有想出康托尔的证明法，即线段上所有点的数比整数大。

18、一位学生会会长宣布：在下星期一到星期五的某一天下午开会，但是你们无法提前知道哪一天开会，因为只有到了当天早上的8点钟，我才会通知你们。

19、一艘船的所有零件都换成新的后，还是同一条船么？

20、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

21、哈代的转述没有结局，也许到这里罗素被惊醒了，未能“看到”结局。不过我对结局倒是毫不悲观，科学史从来也不是如政治史那样“成王败寇”的历史，《数学原理》虽未能实现将数学约化为逻辑的梦想，作为一次可敬的尝试无疑是该被铭记的。事实上，哪怕像哥德尔不完全性定理那样对《数学原理》造成沉重打击的研究，它以《数学原理》作为表述框架本身也是《数学原理》对数学发展的一笔该被铭记的贡献。因此，若让我来为罗素的噩梦想象一个结局的话，我愿相信公元2100年的图书管理员的决定会是明智的，起码会不亚于罗素那位20世纪的“女粉丝”——那位“女粉丝”说过：“只要文明还存在，并且珍视伟大智者的工作，它(《数学原理》)就不会被遗忘。”

22、节约悖论是指在经济萧条时期所有人都把钱存进银行，社会总需求会下降，反过来全社会的消费水平下降、经济增速减缓，全社会的资产总数也就下滑。悖论认为个人资产增值的同时，全社会资产反而减少，或者再放开了说，储蓄额的增加在荼毒经济，因为传统认为个人储蓄有益社会，但是节约悖论认为大规模的储蓄会对经济造成伤害。如果所有人都把钱存进银行，账面上个人的资产会增值，但是全社会总体的宏观经济趋势会下降。

23、这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！

24、罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有RR，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循RR的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切RR的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。

25、直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

26、(11)那位“女粉丝”名叫希尔顿(AliceMaryHilton)，是一位女数学家，著有一本名为《逻辑，计算机及自动化》(Logic,ComputingMachines,andAutomation)的书。

27、如果X是A类集合，则X包括其自身，但是X仅由B类集合组成，那么按照B类集合的定义，X就不应该包括其自身。

28、中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖.在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。

29、(2)罗素在自传中将国际哲学大会的时间记为了1900年7月。

30、孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“早上太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。这不正是近大远小导致的吗？”

31、在描述罗素悖论之前，我们注意下面的事实：一个集合或者它本身的成员，或者不是它本身的成员。

32、生日问题提出了一种可能性：随机挑选一组人，其中会有两人同天生日。用抽屉原理来计算，只要人群样本达到3存在两人同天生日的可能性就能达到100%(一年虽然只有365天，但是有366个生日，包括2月29日)。然而，如果只是达到99%的概率，只需要57个人；达到50%只需要23个人。这种结论的前提是一年中每天(除去2月29日)生日的概率相等。

33、B.Russell,IntroductiontoMathematicalPhilosophy(DoverPublications,Inc.,1993).

34、我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

35、选择的方法是这样的：死囚可以任意说出一句话，如果这句话是真的，就处以绞刑；如果这句话是假话，就砍头。为了防止无法判别真假的情况，凡是无法马上判别真假的话，一律被视为说假话被砍头；若不说话则一律被当成说真话被绞死。看来这个坏国王不仅残忍而且狡猾，结果可想而知，死囚们不是因为说来真话而被绞死，就是因为说了假话而被砍头，或者因为不能马上验证真假而被砍头，或者因为不讲话而被砍头。似乎每个死囚都难逃厄运，所以国王很为自己的“才智”得意开心。

36、比如著名德国数学家外尔(HermannWeyl)就质疑道，有任何具备现实头脑的人敢说自己相信这样一个不自然的体系吗？罗素的学生，著名哲学家维特根斯坦(LudwigWittgenstein)也毫不客气地“叛变”了，表示数学的真正基础是像“1”那样来自算术实践的东西，而不是用几百页篇幅才能推出“1”来的《数学原理》，理由很简单：一旦《数学原理》与那些算术实践相矛盾，我们立刻就知道是《数学原理》而不是算术实践错了。确实，像“1”和“1+1=2”那样的“小学数学”果真需要像可化归性公理那样的公理及几百页的逻辑推理为“基础”吗？这对逻辑主义堪称是致命问题(注七)。

37、这个悖论其实不难解：因为这里的问题是，他们都试图在“约定”和“判决”里选择对自己有利的结论来解决纠纷。

38、以上是数学中的两个著名的悖论，其实在生活实际中悖论的例子很多。我以前在湖北教书时，那时我隔壁的一位女老师谈到她的男友时总是说她男朋友样样不如她。有一天她又这样说时，我对她说：“不见得吧，你至少有一样不如他！”她问：“我什么不如他？”我说：他有一个好女朋友，而你没有一个好男朋友！她听了哑然失笑。

39、鳄鱼喃喃自语：“如果我吃掉你的孩子，那就说明你答对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃你的孩子，那就说明你答错了，我就应该吃掉孩子。”

40、举例解释这两个定义：比如“中文”这个词，它本身是用中文写成的，所以它对自身为真，是自谓的；而“英文”这个词，因为不是用英文写成的，所以它对自身不真，是非自谓的。又例如：“红的”这个词本身的颜色是黑色的，所以它是非自谓的；而“红的”这个词的颜色就是红色的，所以它就是自谓的。

41、B.Russell,MyPhilosophicalDevelopment(SimonandSchuster,Inc.,1959).

42、《数学原理》的作者阵容比《数学的原理》扩大了一倍：在罗素的动员下，怀特海成为了合作者。怀特海对数学基础也有浓厚的兴趣，曾于1898年撰写过一本标题为《泛代数》(ATreatiseonUniversalAlgebra)的著作，且有续写的想法。罗素自己的最初打算则是将《数学原理》写成《数学的原理》的第二卷。不过，这两位想写“续集”的作者“强强联合”的结果，是各自抛弃了“前集”，写出了一套篇幅和深度都远超“前集”的独立著作。

43、如果认为这句话是谎话，那么这句话所说的“这句话是谎话”就是假的，即这句话是真话。

44、整整十年，痛苦、焦虑、悲观、担忧终于都被熬过。1910年，《数学原理》的初稿完成。在给朋友的信中，罗素很不吉利地把当时的心情形容为：一个因照顾重病患而精疲力尽的人，看到可恶的病患终于死去时的那种如释重负的感觉。

45、明白了这个定义，现在请看这个形容词：“非自谓的”。

46、于是老师准备起诉他，并告诉他说：“如果我胜诉，法官会判你付学费；如果我败诉，那么根据约定，你还是要付我学费。总之要付。”

47、邓析也回答：“不要着急，他不从你这里买，还能从谁那里买？”

48、(4)罗素悖论是关于集合{x|x∉x}的悖论，由于这个集合是由所有不是自身元素(即x∉x)的集合组成的集合，它本身是否是自身元素就成了悖论。

49、擅写短诗的古希腊诗人卡利马科斯(Callimachus)曾经言道：“一部大书便是一项大罪”(注一)。1959年，英国哲学家罗素(BertrandRussell)在《西方的智慧》(WisdomoftheWest)一书中引用了这句话，并“谦虚”地表示，“以罪而论，这是一部小书”(asevilsgo,thisbookisaminorone)；1982年，印度裔美国科学史学家梅拉(JagdishMehra)在《量子理论的历史发展》(TheHistoricalDevelopmentofQuantumTheory)一书中也引述了这句话，且跟罗素一样“谦虚”，表示以罪而论，他那部也是小书。

50、“三元悖论”是由美国经济学家保罗·克鲁格曼就开放经济下的政策选择问题提出，其含义是：本国货币政策的独立性，汇率的稳定性，资本的完全流动性不能同时实现，最多只能同时实现两个目标，而放弃另外一个目标

51、第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

52、    1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到十九世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上了。就在这时，集合论接连出现了一系列自相矛盾的结果。特别是1902年罗素提出理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大批新成果，也带来了数学观念的革命。

53、匹诺曹悖论和匹诺曹本身没有关系，如果匹诺曹说“我生病了”，这句话是可以判定真伪的，但是匹诺曹说的是“我的鼻子马上会变长”，就无法判定真伪，我们无法得知匹诺曹的鼻子到底会不会变长。

54、那么，如何解决罗素悖论呢？很简单，对于“R是否属于R”此无定义处进行重新定义，属于不属于都可以，或者说此处没有意义也可以，看哪种定义比较适用。数学家构造的理论出现矛盾了，就像人们讲话出现了矛盾了一样，解决的方法很简单：“对不起，我没有注意到这里有矛盾，我重新说明一下，此处应该是如此如此……”

55、然而就在此时，一个重磅消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。它是对当时刚刚建立起来的集合论的有力挑战。

56、而如果他不给自己理，那他满足上面宣称的条件，他就应该给自己理发。

57、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。　　

58、在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。